12. comparaison de fonctions de répartition.
1) On trouve :
|
étudiants |
adultes de 40 ans et + |
|
P(X£175) = 0.57143 |
P(X£175) = 0. 0.86667 |
Le pourcentage d’étudiants mesurant moins de 1.75m (57%) est largement inférieur au pourcentage d’adultes (87%). C’est une première façon d’exprimer que les jeunes de 20 ans en général plus grand que les adultes de 40 ans.
2) Les fonctions de répartition sont représentées ci-dessous :
On lit sur le graphique les valeurs approximatives des médianes et des quartiles :
|
|
q1 |
médiane |
q3 |
|
série 1 (
étudiants) : |
1.72 |
1.75 |
1.80 |
|
série 2
(adultes de + de 40 ans) : |
1.65 |
1.70 |
1.73 |
Les calculs donnent les résultats suivants :
|
taille des étudiants |
f.d.r. |
taille des adultes |
f.d.r. |
|
171 <= X < 172 |
0.20635 |
163 <= X < 165 |
0.16667 |
|
172 <= X < 173 |
0.31746 |
165 <= X < 166 |
0.28889 |
|
|
|
|
|
|
174 <= X < 175 |
0.44444 |
169 <= X < 170 |
0.42222 |
|
175 <= X < 176 |
0.57143 |
170 <= X < 171 |
0.57778 |
|
|
|
|
|
|
179 <= X < 180 |
0.73016 |
172 <= X < 173 |
0.70000 |
|
180 <= X < 181 |
0.80952 |
173 <= X < 174 |
0.75556 |
Les calculs ne tombent pas justes, mais les approximations graphiques sont très satisfaisantes.
3) Le graphique montre deux relations (équivalentes) relation entre les deux fonctions de répartitions.
· quel que soit x, on a :
|
F1(x) ³ F2(x) |
· quel que soit p entre 0 et 1, les quantiles xp1 et xp2 définis par :
F1(xp1
) = F2(xp2) = p
vérifient la relation :
|
xp1³xp2 |
4) Les moyennes et les variances sont données dans le tableau ci-dessous :
|
Taille |
moyenne |
variance |
|
des étudiants |
175.6587 |
39.72877 |
|
des adultes |
169.7889 |
29.29988 |
La taille moyenne des étudiants est supérieure à celle des adultes. C’est une conséquence directe de l’ordre sur les fonctions de répartition défini dans la question précédente.
La propriété inverse n’est pas vraie : une inégalité entre deux moyennes n’entraîne pas l’inégalité entre les fonctions de répartitions telle qu’elle est définie ci-dessus..